exponenciación

La exponenciación es una operación matemática que eleva una cantidad base a una potencia. Se escribe a^b y se entiende como el resultado de multiplicar la base a por sí misma b veces cuando b es un entero; cuando b no es entero se usa una definición más general basada en logaritmos y la función exponencial.

Notación y alcance: para exponentes enteros no negativos, a^n es el producto de la base por sí misma n veces. Si n es entero negativo, a^n es 1/a^{-n}. Para exponentes racionales p/q, a^{p/q} se define como la q-ésima raíz de a^p. En la mayoría de contextos, para exponentes reales se requiere una base positiva, y se define a^x = e^{x ln a}. Si a ≤ 0, la exposición real puede no estar bien definida; con bases negativas se necesita restringir el exponente a números enteros o racionales con denominador impar para obtener valores reales.

Propiedades: entre las básicas se encuentran a^m a^n = a^{m+n}, (a^m)^n = a^{mn}, y (ab)^n = a^n b^n para base positiva; a^0 = 1 si a ≠ 0. 0^p es 0 para p>0 y 0^0 es indeterminado en muchos contextos.

Función exponencial y aplicaciones: la función exponencial con base e, exp(x) o e^x, satisface d/dx e^x = e^x y describe crecimiento o decaimiento continuo: si a>1 crece, si 0<a<1 decae. Las potencias exponenciales son fundamentales en modelización de crecimiento poblacional, intereses compuestos, reacciones químicas y decaimiento radiactivo, entre otros.

Historia: el concepto se desarrolló junto a logaritmos y la resolución de problemas de proporcionalidad, dando forma a las reglas actuales de la exponenciación.