epsilondeltadefinitie

De epsilon-delta definitie van de limiet is de formele manier om precies uit te drukken wat het betekent dat een functie f zich gedraagt als x nadert tot een punt a. Voor een functie die gedefinieerd is op een open omgeving rond a, zegt men dat lim_{x→a} f(x) = L als voor elke ε > 0 er een δ > 0 bestaat zodanig dat als 0 < |x − a| < δ dan |f(x) − L| < ε.

De δ-waarde hangt af van ε, maar niet van de gekozen x. In symbolen: ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x (0 < |x − a| < δ ⇒ |f(x) − L| < ε). Deze formulering schept de rigoureuze basis voor analyse en bewijzen, en maakt duidelijk dat het limietwaarde L onafhankelijk is van specifieke benaderingen van x.

Toepassingen en varianten. De definitie wordt gebruikt om continuïteit te definiëren: een functie f is continu bij a als lim_{x→a} f(x) = f(a). Daarnaast gelden one-sided limieten (links of rechts), limieten bij het naderen van ∞, en limieten in de complexe analyse. De epsilon-deltadefinitie onderstreept dat grenzen niet afhankelijk zijn van specifieke punten, maar van alle benaderingen binnen een infinitesimale omgeving.

Samengevat biedt de epsilon-delta definitie een nauwkeurige, algemeen toepasbare basis voor begrip en bewijzen in wiskundige analyse.