ekvivalentsuse

Ekvivalentsuse (ekvivalentsussuhte) mõiste on matemaatikas oluline. Ekvivalentsussuhteks nimetatakse hulgal A olevat relatsiooni, mis on refleksiivne, sümmeetriline ja transitiivne. Refleksiivne tähendab, et iga a ∈ A käib a ~ a. Sümmeetriline tähendab, et kui a ~ b, siis b ~ a. Transitiivne tähendab, et kui a ~ b ja b ~ c, siis ka a ~ c.

Iga a ∈ A kaasneb ekvivalentsusklass [a] = { x ∈ A | x ~ a }. Kuna ekvivalentsussuhte omadused kehtivad kõigi liikmete kohta, moodustuvad klassid kattumatusse ja katavad kogu hulga A; need klassid koos moodustavad ekvivalentsusklasside kogumi A/~. See on hulgast A eraldatud jaotuse üks väljund, mis tähistab, kuidas A jaguneb ühtseteks osadeks.

Näited: kongruentsus modulo n täisarvude hulgal on ekvivalentsussuhte a ~ b, kui n jagub (a−b). Ekvivalentsusklassid on residuude hulga {0,1,...,n−1} klassid, mis sisaldavad kõiki arve, mille jääk modulo n on sama. Teine näide on sama pariteet: a ~ b kui a ja b on mõlemad paaris või mõlemad paaritud; tulemuseks on kaks klassi: isegi ja paaritu.

Kasutusvaldkonnad hõlmavad hulga jaotamist, lihtsustamist ja mittetäielike struktuuride loomist. Ekvivalentsussuhteid kasutatakse laialdaselt algebrases konstruktsioonides, kombinatorikas, topoloogias ja informaatikas, kus klasside kaudu tekivad lihtsamad, kontrollitavad ning etteaimatavad mudelid.