eksponentiaatio

Eksponentiaatio on luvun korottamista toisen potenssiin. Yleisin merkintä on a^b, jossa perusta on a ja eksponentti b. Kun eksponentti on kokonaisluku n, a^n tulkitaan toistettuna kertolaskuna: a^n = a × a × ... × a (n kertaa).

Jos eksponentti on nolla, a^0 = 1 (edellyttäen että a ei ole nolla). Negatiivinen eksponentti määrittelee käänteiskertolaskun: a^(-n) = 1/(a^n) (kun a ≠ 0). Eksponentti voi olla rationaaliluku tai reaaliluku, jolloin määritelmä riippuu perusluvusta: a^(p/q) on q:n juurena, eli (a^(1/q))^p, mikä on pääasiassa määritelty kun a ≥ 0; jos a < 0 ja q on parillinen, reaaliarvoa ei ole.

Laajennetussa määritelmässä eksponentiaalisen luvun voidaan kirjoittaa myös käyttäen logaritmeja ja eksponentiaalifunktiota: a^x = exp(x ln a) silloin kun a > 0.

Ominaisuuksiin kuuluu muun muassa: a^x a^y = a^(x+y) (kun perusta on positiivinen tai muut määritelmät ovat voimassa); (a^x)^y = a^(xy); (ab)^x = a^x b^x tietyin edellytyksin; sekä erikoistapaukset kuten 1^b = 1 ja 0^b = 0 (b > 0). 0^0 on useissa yhteyksissä epäselvä tai kontekstiriippuvainen.

Erityisen tärkeä esimerkki on eksponentiaalinen funktio e^x, jossa perusta on irrationaalinen luku e. e^x määritellään lukuarvona ja sillä on ominaisuus d/dx e^x = e^x; se esiintyy laajasti laskennassa, mallintamisessa ja luonnontieteissä.

Käyttökohteita ovat jatkuva kasvu ja hajoaminen, finanssianalyysi (korkoa korolle), fysiikka, biologia sekä tilastotiede ja tietotekniikka. Eksponentiaatio muodostaa perustan monille matemaattisille malleille ja sovelluksille.