eikommutatiivisuus

Eikommutatiivisuus on termi, jota käytetään matematiikassa kuvaamaan binäärisen operaation ominaisuutta, jossa järjestyksellä on merkitys. Operaation sanotaan olevan commutatiivinen, jos a*b = b*a kaikille operaation tulosjoukon alkioille a ja b. Eikommutatiivisuus puolestaan tarkoittaa, ettei tätä identiteettiä päde yleisesti; on olemassa pareja a ja b, joille a*b ≠ b*a.

Esimerkit. Yleisesti tunnettu esimerkki on matriisikertolasku: suurin osa 2×2-matriiseista ei yleensä kumoudu. Esimerkiksi tietyt A ja B-kertolaskut antavat AB ≠ BA, vaikka kertolasku on assosiatiivinen (A(BC) = (AB)C). Toinen klassinen esimerkki löytyy quaternioista: i*j = k, mutta j*i = -k, joten i*j ≠ j*i.

Rakenne ja yhteys muihin käsitteisiin. Eikommutatiivisuus ei sulje pois associativiteettia; monet ei-commutatiiviset rakenteet ovat silti assosiatiivisia, kuten matriisikertolasku. Monissa rakenteissa, kuten ryhmissä, algebrassa ja rengasissa, voidaan puhua ei-abelianisista eli ei-commutatiivisista tapauksista. Tällaiset rakenteet ovat yleisiä esimerkiksi signaalin käsittelyssä, grafiteoriassa ja fysikaalisissa teoissa.

Merkitys. Eikommutatiivisuus on keskeinen käsite sekä matematiikassa että sen sovelluksissa. Se ilmenee esimerkiksi kvanttimekaniikassa mittausten epäyhteensopivuudessa: ei-kommutatiiviset havaittavat voivat tarkoittaa, että mittausten tulokset riippuvat järjestyksestä. Se tarjoaa myös rajan siitä, missä matematiikassa perinteinen reuna-idea commutatiivisuudesta pätee.