divisorfunktionen

Divisorfunktionen bezeichnet eine Familie arithmetischer Funktionen in der Zahlentheorie, die aus den Teilern einer natürlichen Zahl ableiten. Die grundlegendste ist die Divisorfunktion d(n) (häufig auch τ(n) genannt), die die Anzahl positiver Teiler von n zählt: d(n) = |{d ∈ N : d | n}|. Beispielsweise hat 18 die Teiler 1, 2, 3, 6, 9 und 18, daher gilt d(18) = 6. Eine verbreitete Verallgemeinerung ist die Familie der σ_k(n) = ∑_{d|n} d^k, wobei k eine reelle Zahl ist; σ_1(n) entspricht der Summe der Teiler von n.

Wichtige Eigenschaften: Die Funktionen sind teils multiplikativ: Für gcd(a,b) = 1 gilt d(ab) = d(a)d(b) und σ_k(ab) = σ_k(a)σ_k(b). Ist n = ∏ p_i^{a_i} die Primfaktorzerlegung, dann erhält man d(n) = ∏ (a_i + 1) und σ_k(n) = ∏ (p_i^{k(a_i+1)} − 1)/(p_i^k − 1). Die Dirichlet-Generatoren lauten: ∑_{n≥1} d(n) n^{-s} = ζ(s)^2 und ∑_{n≥1} σ_k(n) n^{-s} = ζ(s) ζ(s − k).

Beispiele und Anwendungen: d(12) = 6; σ_1(12) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28. In der Analytischen Zahlentheorie treten Divisorfunktionen in Summen und L-Funktionen auf. Zur asymptotischen Verteilung gehört die Summenfunktion S(x) = ∑_{n≤x} d(n) = x log x + (2γ − 1)x + O(x^θ) (Divisorproblem). Die maximale Ordnung von d(n) wächst langsam: d(n) ≪ exp(O(log n / log log n)).