axiomatisering

Axiomatisering er processen med at systematisere en teori ved at udpege et sæt grundlæggende påstande, aksiomer, fra hvilke alle teoremer i teorien kan udledes ved hjælp af logiske afledningsregler. Formålet er at give en klar, formel og efterprøvbar grundlag for hele teorien og at kunne undersøge, hvilke påstande der følger af de valgte antagelser.

Axiomerne opstilles inden for et formelt sprog, der bestemmer symbolers betydning og hvilke konstruktioner der er tilladt. En vellykket axiomatisering kræver, at axiomerne er logisk konsistente (ingen afledningen af en påstand fra sine egne), i tilstrækkelig grad uafhængige (ingen overflødige axiomer) og relevante for de fænomener, der beskrives. Indimellem kan man søge minimale eller uafhængige sæt for at tydeliggøre betingelserne og mulighederne i teorien.

Eksempler omfatter Hilberts geometri-axiomer for den klassiske geometri, Peano-axiomerne for de naturlige tal og Zermelo–Fraenkels sætte teoretiske axiomatik (ZFC) som en generel fundament for moderne matematik. Axiomatisering spiller også en central rolle i logik og informatik, herunder formelle metoder og specifikationssprog som Z, VDM og B-Method, hvor systemer og egenskaber er præcist beskrevet og kan bevises eller verifikationsledes.

Historisk har axiomatisering bidraget til at tydeliggøre fundamentet for videnskab og matematik og til at adskille det som antages fra det, der kan bevises. Begrænsningerne blev tydelige gennem Gödel’s ufuldstændighedssætninger, der viser, at selv stærke, konsistente axiomatiske systemer ikke kan bevise deres egen konsistens og ikke kunne være fuldstændigt. Dette førte til fokus på relative konsistens og modelbaserede fortolkninger.