arytmetyczne

Arytmetyczne odnosi się do pojęć z arytmetyki dotyczących ciągów arytmetycznych, czyli sekwencji liczb, w których różnica między kolejnymi wyrazami jest stała. Dzięki temu pojęcie to pojawia się w licznych zadaniach z algebry, analizy i szeregów.

Ciąg arytmetyczny (a_n) spełnia warunek a_{n+1} - a_n = d dla stałej d i każdego n. Pierwszy wyraz to a_1, a różnica to d. Cały ciąg determinowany jest przez a_1 i d.

Ogólny wyraz ma postać a_n = a_1 + (n-1) d. Jeśli indeksowanie zaczyna się od 0, to a_n = a_0 + n d. Dzięki temu łatwo obliczyć każdy wyraz kolekcji, gdy znamy a_1 i d.

Suma pierwszych n wyrazów S_n wynosi S_n = n/2 (a_1 + a_n) = n/2 [2 a_1 + (n-1) d]. Można też wyrazić ją za pomocą a_1 i d, korzystając z wyrazu końcowego a_n.

Własności: ciąg arytmetyczny jest rosnący, gdy d > 0; malejący, gdy d < 0; stały, gdy d = 0. W granicy nie zbiega do skończonej wartości, jeśli d ≠ 0, gdyż wartości rosną lub maleją bez ograniczeń. W przypadku d = 0 mamy stały ciąg o stałej wartości a_1.

Zastosowania i powiązania: ciągi arytmetyczne znajdują zastosowanie w obliczaniu sum kolejnych wyrazów, modelowaniu prostych zależności liniowych oraz w sytuacjach inwestycyjnych i finansowych, gdzie wypłaty rosną lub maleją w stałym tempie. Są również podstawą do zrozumienia różnicy skończonej i analizy funkcji liniowych.