antysymetryczno

Antysymetryczność relacji binarnej to właściwość, która mówi, że jeśli dwa elementy a i b z danego zbioru są ze sobą powiązane w obu kierunkach (aR b oraz bR a), to muszą być równe (a = b). Formalnie: dla wszystkich a, b w S, jeśli aR b i bR a, to a = b.

W przeciwieństwie do symetrii, która zapewnia, że aR b implikuje bR a dla każdego a i b, antysymetryczność dopuszcza przypadek, w którym obie relacje zachodzą jedynie wtedy, gdy a i b są tym samym elementem. W praktyce oznacza to, że relacja może być wciąż "dwukierunkowa" tylko w przypadku identyczności, a nie dla różnych elementów.

Przykłady antysymetryczności są powszechne w teorii porządków. Relacja ≤ na liczbach rzeczywistych jest antysymetryczna: jeśli a ≤ b i b ≤ a, to a = b. Podzbiorczość ⊆ na zbiorach również jest antysymetryczna: jeśli A ⊆ B i B ⊆ A, to A = B. Z kolei relacja dzielenia na dodatnich liczbach całkowitych jest antysymetryczna, gdy rozpatrujemy liczby bez jednostek.

Nie każda relacja jest antysymetryczna. Przykładowo, na zbiorze {x, y} z relacją zawierającą zarówno (x, y), jak i (y, x) bez wymogu x = y, relacja ta nie jest antysymetryczna.

Zastosowania antysymetryczności obejmują porządki częściowe i całkowite (posety i łańcuchy), algebry i struktury matematyczne o poszanowaniu porządku, a także analizy relacji w informatyce i teorii grafów. Antysymetryczność często współwystępuje z transitivity, tworząc stabilne struktury porządkowe.