aaltoyhtälöihin

Aaltoyhtälöt ovat osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ryhmä, jotka mallintavat aaltoliikkeen leviämistä erilaisissa medioissa. Yleinen lineaarinen, homogeeninen muoto on

∂^2u/∂t^2 = c^2 ∇^2u,

jossa u(x,t) on kenttäarvo, c on aallonnopeus ja ∇^2 on Laplacein operaattori. Tämä kuvaa esimerkiksi ääni- ja valoaaltorakenteita sekä vesillä syntyviä aaltoja.

Yksiulotteinen muoto on ∂^2u/∂t^2 = c^2 ∂^2u/∂x^2. D'Alembertin ratkaisu antaa yleisen ratkaisun muodoilla u(x,t) = F(x−ct) + G(x+ct), jolloin F ja G määräytyvät alku- ja reunaehdoista. Alkuoletukset u(x,0) = φ(x) sekä ∂u/∂t(x,0) = ψ(x) määrittävät ratkaisun.

Laajennukset huomioivat vaihtelevan nopeuden, lähteet ja monimutkaisemmat geometriset rajat. Esimerkiksi inhomogeenisessa muodossa ∂^2u/∂t^2 = ∇·(a(x)∇u) + S(x,t) tai ∂^2u/∂t^2 = c(x)^2 ∇^2u, sekä erilaiset reunaehdot. Monimutkaisissa medioissa esiintyy heijastuksia, diffraktiota ja dispersion.

Numeriikassa aaltoyhtälöiden ratkaisut toteutetaan esimerkiksi finite difference -menetelmällä (FDM) tai finite element -menetelmällä (FEM); vakautta ja tarkkuutta varmistetaan usein CFL-ehdon avulla. Spektaaliset ja muut erikoismenetelmät tarjoavat vaihtoehtoja tietyntyyppisiin ongelmiin.

Käytännön sovelluksia riittää akustiikasta ja elektromagneetismistä seismologiaan, vedenalaisten ja ilmapiirillisten aaltojen tutkimukseen sekä optiikkaan ja materiaalitieteeseen. Aaltoyhtälöiden tutkimus on keskeinen osa teoreettista ja soveltavaa fysiikkaa sekä insinööritiedettä.