Wendepunkte

Wendepunkt, im Deutschen oft als inflection point bezeichnet, ist ein Punkt einer Kurve, an dem die Krümmung der Kurve wechselt. Formal handelt es sich um einen Punkt x0 im Intervall der Definitionsmenge einer reellen Funktion f, an dem die Krümmung links und rechts von x0 verschieden ist: Die Kurve geht von kippenweise nach oben zu kippenweise nach unten oder umgekehrt.

Kriterien: Wenn f in einer Umgebung von x0 zweimal differenzierbar ist, reicht es im Allgemeinen aus, dass f'' existiert und f''(x0) = 0 sowie sich das Vorzeichen von f'' um x0 herum ändert. Allgemeiner gilt: Ein Wendepunkt kann auch dort liegen, wo f'' nicht existiert, sofern die Konkavität links und rechts von x0 tatsächlich verschieden ist. Die einfache Daumenregel lautet: ein Wendepunkt ist dann gegeben, wenn die Krümmung der Funktion wechselt, nicht notwendigerweise, wenn der Funktionswert oder die erste Ableitung dort besondere Werte annimmt.

Beispiele: Die Funktion f(x) = x^3 besitzt einen Wendepunkt bei x = 0, da f''(x) = 6x sich links negativ und rechts positiv ändert. Die Funktion f(x) = x^4 hat keinen Wendepunkt an x = 0, obwohl f''(0) = 0 ist, weil die Krümmung dort nicht das Vorzeichen wechselt. Eine weitere häufige Beispielreihe: f(x) = x^3 − 3x hat ebenfalls einen Wendepunkt bei x = 0, da f''(0) = 0 und das Vorzeichen von f'' um x0 wechselt.

Abgrenzung: Ein Wendepunkt ist nicht zwingend ein Extrempunkt. Ein Extrempunkt tritt auf, wenn f' = 0 und die Krümmung ein Vorzeichenwechsel anzeigt; ein Wendepunkt erfordert dagegen nur eine Veränderung der Konvexität. Anwendungen finden sich in der Kurvendiskussion, Datenanalyse und Wachstumsmodellen, wo Wendepunkte auf Richtungswechsel in der Entwicklung hinweisen.