Warteschlangensysteme

Warteschlangensysteme sind mathematische Modelle zur Beschreibung von Situationen, in denen Ankünfte von Kunden oder Aufgaben auf einen oder mehrere Bedienstete treffen und eine Warteschlange entsteht, bevor ein Service erfolgt. Ziel ist es, Bedienprozesse zu planen, Wartezeiten zu minimieren und Ressourcen effizient einzusetzen.

Typischer Aufbau umfasst einen Ankunftsprozess, eine Warteschlange, einen oder mehrere Server, eine Servicezeitverteilung, eine Service-Disziplin (z. B. FCFS), und oft eine Kapazitätsgrenze. Der Fluss verläuft in der Regel von der Ankunft über die Schlange zum Server und schließlich zum Abgang. Wichtige Entscheidungen betreffen die Anzahl der Server, die Priorisierung von Aufgaben und die maximale Systemkapazität.

Gängige Modelle unterscheiden sich nach Verteilungen der Ankunfts- und Servicezeiten sowie der Anzahl der Server. Beispiele sind M/M/1, M/M/c, M/G/1, GI/G/1 und G/G/1. Typische Kennzahlen umfassen die Auslastung der Server, die mittlere Anzahl von Kunden im System oder in der Schlange, die Wartezeit in der Schlange (Wq) und die Gesamtdauer im System (W), sowie Wahrscheinlichkeiten zu warten. Das zentrale Prinzip ist Little’s Law: L = λW, wobei L die mittlere Anzahl im System, W die mittlere Verweildauer und λ der Ankunftsrate entspricht. Bei konkreten Modellen können zusätzlich Formeln für Lq, Wq oder die Warteschlangenwahrscheinlichkeit herangezogen werden.

Anwendungen finden sich in Call-/Contact Centern, Computer- und Netzwerken, Fertigungs- und Dienstleistungsprozessen sowie Logistik. Methoden umfassen analytische Modelle, Approximationen und Simulationen, insbesondere bei komplexeren Netzen oder nicht-poisson-Verteilten Ankünften. Limitierungen betreffen die oft vereinfachten Annahmen über Ankunfts- und Serviceverteilungen; hier dienen empirische Daten und Simulation als Ergänzung.