Vorzeichenfolgen

Vorzeichenfolgen bezeichnet in der Mathematik eine Folge von Vorzeichen, die das Vorzeichen der Terme einer zugrunde liegenden Zahlenfolge angibt. Formal sei (a_n) eine Folge reeller Zahlen. Dann ist die zugehörige Vorzeichenfolge s_n = sign(a_n) mit Werten in {−1, 0, 1}, definiert durch s_n = a_n/|a_n| für a_n ≠ 0 und s_n = 0, wenn a_n = 0. In manchen Kontexten wird statt 0 auch das Fehlen eines Vorzeichens gewählt.

Die Vorzeichenfolge dient der Analyse des Musters der Vorzeichen der Terms einer Sequenz. Sie erlaubt die Untersuchung von Vorzeichenwechseln, Variationen und regelmäßigen Mustern, ohne die Beträge der Terme zu betrachten. In der diskreten Analyse und bei der Untersuchung konvergenter oder divergenter Verläufe kann die Vorzeichenfolge Hinweise auf Alternierbarkeit oder Stabilität liefern. Sie spielt auch eine Rolle bei der Deskriptiven Statistik und in der numerischen Analysis, zum Beispiel bei der Beurteilung von Signalmustern.

Beispiele: Für die Folge a_n = (-1)^n n ist die Vorzeichenfolge +, −, +, −, … . Bei a_n = n^2 − 5 ergibt sich die Vorzeichenfolge −, −, +, +, +, … (ab n = 3 positiv). Solche Beispiele illustrieren, wie sich das Vorzeichenmuster unabhängig von der Größe der Terme betrachten lässt.

Verwandte Konzepte umfassen die Signatur oder Signänderungen in Sequenzen, die Anzahl der Vorzeichenwechsel (SignChanges) sowie Anwendungen wie die Descartes’che Regel der Vorzeichenwechsel in der Polynomtheorie.