Verzweigungsprozesse

Verzweigungsprozesse sind stochastische Modelle zur Beschreibung der Vermehrung von Populationen, bei denen jedes Individuum in einer Generation zufällig eine bestimmte Anzahl Nachkommen hinterlässt und die Nachkommen unabhängig voneinander auftreten. Sie finden Anwendungen in Biologie, Epidemiologie, Genetik und Informatik.

Die bekannteste Klasse sind Bienaymé-Galton-Watson-Verzweigungsprozesse (BGW). In diskreter Zeit: Die Zufallsgröße X_n ist die Zahl der Individuen in der n-ten Generation, X_0 ist gegeben. Jedes Individuum erzeugt unabhängig Z Nachkommen nach einer gemeinsamen Verteilung mit p_k = P(Z=k). Dann gilt X_{n+1} = sum_{i=1}^{X_n} Z_i.

Die Verteilung der Nachkommen wird durch die Generating Function f(s) = E[s^{Z}] beschrieben. Der Erwartungswert m = E[Z] bestimmt die Richtung der Entwicklung: subkritisch m<1, kritisch m=1, überkritisch m>1. Die Extinktionswahrscheinlichkeit q ist die kleinste Lösung von s = f(s) im Intervall [0,1]. Für m≤1 verschwindet die Population fast sicher; bei m>1 besteht eine positive Wahrscheinlichkeit, dass sie fortbesteht.

E[X_n] = m^n X_0. Die Varianz folgt einer rekursiven Gleichung; im überkritischen Fall wächst die Verteilung typischerweise wie m^n und weist charakteristische Fluktuationen um die Erwartung auf.

Es gibt auch kontinuierliche Verzweigungsprozesse, die Alter und zeitliche Abstände der Reproduktion berücksichtigen (Birth-and-Death- oder Crump-Mode-Jagers-Prozesse).

Historisch stammen Verzweigungsprozesse aus der Arbeit von Galton und Watson im späten 19. Jahrhundert. Anwendungen finden sich in Populationsdynamik, Epidemiologie, Genetik, Ökologie, Physik und Informatik.