Verteilungsprozesse

Verteilungsprozesse sind stochastische Prozesse, deren Zustandsgröße eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ist oder die die zeitliche Entwicklung der Verteilung der Zustände eines Systems beschreibt. In der ersten Interpretation handelt es sich um verteilungswertige oder measure-valued Prozesse, bei denen der Zustand zu jedem Zeitpunkt eine Wahrscheinlichkeit μ_t auf einem zugrunde liegenden Messraum darstellt. In der zweiten Interpretation beschreibt der Prozess X_t die Entwicklung eines Systems, dessen Verteilung μ_t über den State Space mit der Zeit variiert; hier wird die evolution der Verteilung oft durch analytische Werkzeuge wie die Kolmogorov-Forward- oder die Fokker-Planck-Gleichung beschrieben.

Formale Grundlage: Sei (S, Σ) ein messbarer Raum. Ein Verteilungsprozess kann als ein stochastischer Prozess (μ_t) mit Werten in M_+(S) verstanden werden, der Menge der Wahrscheinlichkeitmaße auf S. Oft besitzt er die Markov-Eigenschaft; seine Entwicklung lässt sich durch Generatoren, Martingalprobleme und charakteristische Gleichungen beschreiben. In Diffusionsmodellen erfüllt die Verteilung μ_t die Fokker-Planck-Gleichung, während in der Populationstochastik measure-valued Prozesse wie der Fleming–Viot-Prozess oder der Dawson–Watanabe-Prozess auftreten.

Beispiele und Anwendungen: Measure-valued Prozesse treten in der Population Genetics, in der Theorie von Superprozessen sowie in bestimmten Modelldarstellungen der Physik auf. In der Praxis dienen Verteilungsprozesse auch zur Modellierung der zeitlichen Entwicklung von Unsicherheit in Bayesianischen Filtern oder in großen Partikel-Systemen, die Posteriorverteilungen approximieren.

Eigenschaften und Methoden: Typische Merkmale sind der Markov-Eigenschaft, Filtration, Ergodizität oder Stationarität sowie die Analyse über Martingale, Generatoren und Stochastische Differentialgleichungen. Sie bilden eine Brücke zwischen Stochastik, Analysis und Anwendungsgebieten, in denen die Verteilung von Zuständen im Mittelpunkt steht.