Vergleichsbeziehungen

Vergleichsbeziehungen bezeichnen in Mathematik und Logik binäre Relationen, die zwei Elemente eines Mengensystems hinsichtlich eines Merkmals zueinander in Beziehung setzen. Sie dienen dazu, Elemente zu ordnen, zu vergleichen oder in eine Rangordnung zu bringen. Vergleichsbeziehungen können streng oder nicht streng, partiell oder insgesamt (total) sein, je nachdem, welche Paare miteinander vergleichbar sind.

Eine Einteilung erfolgt meist in strenge versus nicht strenge Relationen. Strenge Vergleichsbeziehungen, wie der Relationsoperator "<", sind irreflexiv und transitiv. Nicht strenge Vergleiche, wie "<=", sind reflexiv und transitiv. Antisymmetrie ergänzt viele Ordnungsbeziehungen: Für alle a,b gilt, wenn aRb und bRa, dann ist a = b. Partielle Ordnungen erfüllen Reflexivität, Antisymmetrie und Transitivität, ermöglichen aber nicht notwendigerweise einen Vergleich jedes Elements. Totale Ordnungen verlangen zusätzlich die Vergleichbarkeit aller Paare (Trichotomie: Für je zwei Elemente gilt genau eine der Optionen a < b, a = b, oder b < a).

Beispiele umfassen die nicht strenge Ordnung ≤ auf den reellen Zahlen, die strenge Ordnung <, die Teilmengenordnung ⊆ auf Mengen und die Teilbarkeitsordnung auf ganzen Zahlen. Ebenso gibt es lexikografische Ordnungen auf Zeichenketten. Vergleichsbeziehungen bilden die Grundlage für Sortierung, Suchen, Optimierung und Strukturtheorien wie Gittern und Ordnungsrelationen in vielen mathematischen Disziplinen.