Vectortransformaties

Vectortransformaties zijn functies die vectoren afbeelden uit een vectorruimte V naar een vectorruimte W en die de vectoroperaties behouden. Zo’n kaart wordt een lineaire transformatie genoemd; als V gelijk is aan W en de kaart invertibel is, spreekt men van een lineair eindomorfisme of automorfisme. Lineaire transformaties behouden optellingen en scalarvermenigvuldiging, dus T(u+v) = T(u) + T(v) en T(c v) = c T(v) voor alle u, v in V en scalars c.

In het geval van eindig-dimensionale ruimtes V en W met gekozen basis, komen lineaire transformaties overeen met matrices. De matrix van T hangt af van de gekozen basis: de kolommen zijn de beelden van de basisvectoren. Veranderen van basis verplaatst de representatie van T via basiswisselingen. Belangrijke concepten zijn de afbeelding (image) en de kernel (nulruimte). De rang-nulheidsstelling geeft: dim(V) = rank(T) + nullity(T).

Voorbeelden in R^n: rotaties, reflecties, projecties en scalings zijn lineaire transformaties. Translatie is geen lineaire transformatie; het behoort tot affine transformaties. Affine transformaties kunnen met behulp van homogene coördinaten worden beschreven via matrices die translatie toestaan.

Eigenschappen: een lineaire kaart is een automorfisme als deze bijectief is; bijectiviteit garandeert een inverse transformatie. Eigeneigenschappen zoals eigenwaarden en eigenvectoren beschrijven richting en schaalfactoren die door de transformatie worden aangeduid. Toepassingen van vectortransformaties zijn onder meer computergraphics, data-analyse, differentiaalvergelijkingen en signal processing.