Ungleichheitsvergleiche

Ungleichheitsvergleiche sind ein zentrales Verfahren in Mathematik, mit dem festzustellen ist, ob ein Ausdruck größer, kleiner oder gleich einem anderen ist. Sie werden in Algebra, Analysis und Numerik verwendet, wenn man Größen ordnen oder Grenzen abschätzen möchte. Typische Schreibweisen sind A ≤ B, A < B, A ≥ B oder A > B, wobei A und B Ausdrücke wie Zahlen, Variablen, Funktionen oder Summen sein können.

Wichtige Regeln des Ungleichheitsvergleichs schließen ein: Transitivität: Wenn a ≤ b und b ≤ c gilt, dann a ≤ c. Additive Stabilität: Aus a ≤ b folgt a + c ≤ b + c für jedes c. Multiplikative Stabilität: Wenn a ≤ b und c ≥ 0, dann ac ≤ bc; wenn c ≤ 0, dann ac ≥ bc. Division: Durch positive Zahlen verändert sich die Richtung der Ungleichung nicht; durch negative Zahlen kehrt sie sich um. Unter bestimmten Voraussetzungen gelten auch weitere Regeln, etwa für monotone Funktionen.

Beispiele: Aus a ≤ b folgt ac ≤ bc, falls c ≥ 0. Aus a ≤ b und monotone Funktion f folgt f(a) ≤ f(b).

Anwendungen: Ungleichheitsvergleiche dienen der Herleitung von Ober- und Untergrenzen, der Fehlerabschätzung, der Beweisführung von Ungleichungen wie Dreiecksungleichung, Cauchy-Schwarz-Ungleichung und beim Vergleich von Funktionen in der Analysis. Sie bilden damit eine Grundtechnik zur Abschätzung und Beweisführung in vielen mathematischen Kontexten.