Toestandruimterepresentatie

Toestandruimterepresentatie, vaak aangeduid als state-space representation, is een wiskundig model dat de ingang-uitgang-gedrag van een dynamisch systeem beschrijft via een set van eerste orde differentiaal- of verschil­vergelijkingen met matrices. Het model bestaat uit een toestandvector x, een ingangsvector u en een uitvoervector y, evenals matrices A, B, C en D die de systeemdynamiek bepalen.

In de continu tijd luidt de standaardvorm dx/dt = A x + B u, y = C x + D u. In de discrete tijd is de gebruikelijke vorm x[k+1] = A x[k] + B u[k], y[k] = C x[k] + D u[k]. Hierin heeft x de dimensie n (het aantal toestanden), u heeft dimensie m (aantal ingangen) en y heeft dimensie p (aantal uitgangen). De matrices A, B, C en D hebben respectievelijk afmetingen n×n, n×m, p×n en p×m.

De toestand x representeert de geheugeninhoud van het systeem; de toestand bepaalt de toekomstige evolutie onder werking van de ingangen. De eigenwaarden van A bepalen de natuurlijke modi en stabiliteit van het systeem. Controleerbaarheid en observabiliteit (gebaseerd op de matrices B en C) geven aan of het systeem volledig met ingrepen bestuurbaar is en of de toestand uit de uitgangsgegevens kan worden gereconstrueerd.

Toestandruimterepresentaties zijn niet uniek; dezelfde input-outputwerking kan onder verschillende equivalente toestandsruimtes worden beschreven via een equivalente transformatie x' = T x. Ze vormen de basis voor praktische toepassingen zoals ontwerpen van regelsystemen (state feedback), schatters (Luenberger- of Kalman-schatter), simulaties en modelreductie. Verhoudingen tot de transferfunctie bestaan wanneer het systeem minimaal en volledig realiseerbaar is.