Skalárszorozás

A skalárszorozás a vektoros tér és a mező közötti alapvető művelet, amelynek során egy vektor v ∈ V és egy skalár α ∈ F összekapcsolásával egy új vektor αv ∈ V keletkezik. Ilyenkor a műveletet általában αv vagy α · v formában jelöljük. A skalárszorozás egy vektortér (V, +, ·) szabályaitól függően értelmezett, ahol F a meghatározó mező (gyakran valós számok R vagy komplexek C).

Az axiomszerű követelmények közé tartozik, hogy minden vektorra és skalárra érvényes legyen a zártság: αv ∈ V. A skalárszorozásnak teljesülnie kell a következő tulajdonságoknak: α(u+v) = αu + αv, (α+β)v = αv + βv, (αβ)v = α(βv), és 1v = v minden v ∈ V-re. Továbbá a skalárszorozás összeműködik a vektortér addition műveletével, és a konstans 1 hatására a vektor változatlan marad.

A gyakorlati példában, ha V = R^n, akkor α · (x1, x2, ..., xn) = (αx1, αx2, ..., αxn) koordinátánként értelmezett skalárszorozás. A skalárszorozás megkülönböztethető a belső vagy külső szorzásoktól (például dot product, kereszttermék), amelyek más típusú műveletek. A skalárszorozás alapvetően biztosítja, hogy a vektortér elemei „méretüket” és irányukat megváltoztatva skálázhatók legyenek.