Recheneigenschaften

Recheneigenschaften sind grundlegende Regeln, die beim Rechnen mit Zahlen und algebraischen Objekten gelten. Sie beschreiben, wie die Grundoperationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division funktionieren und bilden die Grundlage mathematischer Manipulationen in Zahlensystemen wie Z, Q, R und C.

Zu den wichtigsten Recheneigenschaften gehören Kommutativität (a + b = b + a und a · b = b · a), die sicherstellt, dass die Reihenfolge der Operanden bei Addition bzw. Multiplikation unerheblich ist; Assoziativität ((a + b) + c = a + (b + c) und (a · b) · c = a · (b · c)); sowie Distributivität der Multiplikation über Addition (a · (b + c) = a · b + a · c). Weiterhin existieren Neutral- bzw. Identitätselemente: 0 ist das additive Identitätselement, 1 das multiplikative. Jedes Element besitzt ein additives Inverses (-a) und, sofern a ≠ 0, ein multiplikatives Inverses (1/a). Abgeschlossenheit bedeutet, dass die Ergebnisse einer Operation in der gleichen Zahlenmenge bleiben.

Subtraktion und Division verhalten sich anders: Subtraktion ist im Allgemeinen nicht assoziativ, Division ist weder assoziativ noch distributiv über Addition; Division durch Null ist undefiniert. Die Recheneigenschaften erleichtern das Vereinfachen von Ausdrücken, das Umformen von Gleichungen und das Belegen algebraischer Regeln.