Quaternionendarstellungen

Quaternionendarstellungen bezeichnen die Darstellung von Rotationen und Orientierung im dreidimensionalen Raum durch Quaternions. Quaternions bilden eine vier-dimensionale reale Algebra, bekannt als die Quaternionen oder Hamiltonsche Quaternionen. JedesQuaternion q lässt sich schreiben als q = w + xi + yj + zk mit reellen Koeffizienten und den Einheiten i, j, k, die i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1 erfüllen.

Eine Rotation wird durch ein Einheitsquaternion q dargestellt, das heißt q hat die Norm sqrt(w^2 + x^2 + y^2 + z^2) = 1. Die Rotation eines Vektors v ∈ R^3 lässt sich durch das Quaternion p = 0 + v als p' = q p q^{-1} durchführen; der rein imaginäre Teil von p' entspricht dem rotierten Vektor. Die Inverse von q ist q^{-1} = q* / |q|^2, wobei q* der Konjugierte von q ist (q* = w - xi - yj - zk). Für Einheitsquaternions ist q^{-1} = q*.

Wichtige Eigenschaft der Quaternionendarstellungen ist die Zweideutigkeit: q und -q stellen dieselbe Rotation dar, da q p q^{-1} = (-q) p (-q)^{-1}. Dadurch bildet die Menge der Einheitsquaternions S^3 eine zweifache Abbildung auf die Rotationsgruppe SO(3).

Beziehungen zu anderen Repräsentationen bestehen durch die Zuordnung von q zu einer Rotationsmatrix R(q) bzw. durch Umrechnung in Euler-Winkel oder Axis-Angle-Formen. Quaternionendarstellungen ermöglichen effiziente Multiplikation statt Matrizenmultiplikation, vermeiden numerische Instabilitäten und eignen sich gut für Interpolationen (Slerp) und Anwendungen in Computergraphics, Robotik und Raumfahrt.

Zusammenfassend bieten Quaternionendarstellungen eine kompakte, stabile und gut interpretierbare Methode zur Beschreibung und Verarbeitung von 3D-Rotationen.