Maclaurinutvidelse

Maclaurinudvidelse er et særligt tilfælde af Taylor-serien, hvor udvidelsen sker omkring punktet x = 0. Hvis en funktion f er differentiabel i et nabolag omkring 0, kan den skrives som f(x) = sum_{n=0}^\infty f^(n)(0) / n! x^n, for |x| < R, hvor R er radius af konvergens. Når f er analytisk i et nabolag omkring 0, konvergerer serien til f(x) i dette område. Den n-te afledede ved 0 kaldes Maclaurin-koefficienten f^(n)(0)/n!.

Eksempler: f(x) = e^x giver f(x) = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...; f(x) = sin x giver x - x^3/3! + x^5/5! - ...; f(x) = cos x giver 1 - x^2/2! + x^4/4! - ....

Anvendelser: Maclaurinudvidelsen bruges til at tilnærme funktioner ved polynomier, hvilket er nyttigt i numerisk beregning og i løsning af differentialligninger. Fejlen ved en afkortet sum kan estimeres med remainder-sætningen, f^(n+1)(ξ) x^{n+1}/(n+1)!, hvor ξ ligger mellem 0 og x (Lagrange-resten). Maclaurinudvidelsen er en særlig form af en Taylor-udvidelse omkring et vilkårligt a, hvis man udvider omkring a i stedet for 0.

Historie: Navnet kommer fra Colin Maclaurin (1690–1744), som videreførte og udbredte Taylor-teorien i 1700-tallet. Maclaurinserien bruges stadig bredt i matematik, fysik og teknik til at undersøge funktioners opførsel omkring 0.