Laplacemuunnosta

Laplacemuunnos (Laplace transform) on matemaattinen integroiva muunnos, joka muuntaa aikadatan f(t) kompleksialueen funktioksi F(s). Se on lineaarinen ja soveltuva erityisesti lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen. Yleinen, epäyhtenäinen muunnos määritellään yksipuolisena (unilateral) muunnoksena: F(s) = ∫_0^∞ f(t) e^{-st} dt, where s on kompleksiluku, s = σ + iω. Mielenkiintoinen on myös koko aikavälin muunnos (bilateral Laplace transform), jossa f(t) määritellään koko reaalilukujen määrittelyalueella.

Inversio: funktion f palautus F(s):n avulla on f(t) = (1/2πi) ∫_{γ−i∞}^{γ+i∞} F(s) e^{st} ds, missä γ sijaitsee muunnoksen konvergenssi-alueella. Konvergenssialue (region of convergence, ROC) määrittelee, missä s-alueella muunnos on määritelty ja konvergoi.

Ominaisuudet: muunnos on lineaarinen. Siirtomuut sijoitetaan: L{f(t−t0)u(t−t0)} = e^{-st0}F(s), L{e^{at}f(t)} = F(s−a). Derivaattojen ominaisuudet: L{f'(t)} = sF(s) − f(0+), L{f''(t)} = s^2F(s) − sf(0+) − f'(0+). Konvoluutiovaatimus: L{(f*g)(t)} = F(s)G(s). Yleisiä muunnoksia ovat L{1} = 1/s (Re(s) > 0), L{t^n} = n!/s^{n+1}, L{e^{at}} = 1/(s−a) (Re(s) > Re(a)), sekä trigonometriset: L{cos(bt)} = s/(s^2 + b^2), L{sin(bt)} = b/(s^2 + b^2).

Sovellukset: käytetään yleisesti lineaaristen ODE:iden ja järjestelmien mallintamiseen sekä kontrolliteoriassa, signaalinkäsittelyssä ja sähkötekniikassa. Olennainen osa on olemattomien alkuarvojen ja loppuarvojen teoreemat sekä konvoluution hyödyntäminen vastakkaisten syötteiden ratkaisemisessa.

Odotus: Laplacemuunnos vaatii, että f(t) on reunaluvun mukaan kappaleittain jatkuva, ja se on eksponentiaalisesti rajattu. Tämä varmistaa muunnoksen olemassaolon sekä ROC:n määrittelyn.