Kugelkoordinatensystem

Der Kugelkoordinatensystem, auch sphärische Koordinaten, beschreibt Punkte im dreidimensionalen Raum durch drei Größen: den Abstand r vom Ursprung, den Polarwinkel theta, gemessen vom positiven z-Achse, und den Azimutwinkel phi in der x-y-Ebene vom positiven x-Achsen aus.

Räume und Bereiche: r ist nicht negativ (r ≥ 0), der Polarwinkel theta liegt zwischen 0 und pi, und der Azimutwinkel phi liegt zwischen 0 und 2π. In einigen Texten werden theta und phi vertauscht; in der Physik wird oft theta als Polarwinkel und phi als Azimutwinkel verwendet, während Mathematiker gelegentlich die Rollen tauschen.

Beziehungen zu kartesischen Koordinaten: Die Umrechnung lautet x = r sin theta cos phi, y = r sin theta sin phi, z = r cos theta. Umgekehrt gilt r = sqrt(x^2 + y^2 + z^2), theta = arccos(z/r) und phi = atan2(y, x).

Geometrische Interpretation: r = const beschreibt eine Kugel, theta = const eine Kegeloberfläche, phi = const eine Halbebene durch den Ursprung.

Volumen- und Flächenelemente: Das dreidimensionale Differentialvolumen ist dV = r^2 sin theta dr dtheta dphi; der Jacobian ist J = r^2 sin theta. Allgemeine Operatoren: Der Gradient eines Skalarfeldes f lautet ∇f = e_r ∂f/∂r + e_theta (1/r) ∂f/∂theta + e_phi (1/(r sin theta)) ∂f/∂phi. Die Divergenz eines Vektorfeldes A = A_r e_r + A_theta e_theta + A_phi e_phi ist ∇·A = (1/r^2) ∂(r^2 A_r)/∂r + (1/(r sin theta)) ∂(sin theta A_theta)/∂theta + (1/(r sin theta)) ∂A_phi/∂phi, und der Laplace- Operator für eine Skalarfunktion ist ∇^2 f = (1/r^2) ∂/∂r (r^2 ∂f/∂r) + (1/(r^2 sin theta)) ∂/∂theta (sin theta ∂f/∂theta) + (1/(r^2 sin^2 theta)) ∂^2 f/∂phi^2.

Anwendungen: Sphärische Koordinaten eignen sich besonders für Probleme mit Rotationssymmetrie, etwa zentrale Potenziale, Wellengleichungen oder die Auswertung von Kugelflächenfunktionen (Sphärische Harmonische). Sie sind weit verbreitet in Physik, Ingenieurwesen und Mathematik.

Siehe auch: Sphärische Harmonische, Koordinatentransformationen.