Konvergenzgüte

Konvergenzgüte bezeichnet in der Numerischen Mathematik die Güte, mit der ein Algorithmus oder Verfahren eine gesuchte Größe annähert. Sie umfasst die Geschwindigkeit der Annäherung (Konvergenzrate), die Stabilität gegenüber Störungen und die Robustheit gegenüber Variationen von Randbedingungen oder Startwerten. Ziel ist es, die Effizienz und Zuverlässigkeit eines Verfahrens zu beurteilen und zu vergleichen.

Formale Charakterisierung: Für eine Folge x_k mit Limes x* gilt die Fehlerevolution e_k = x_k − x*. Die Konvergenzgüte wird oft durch die Konvergenzordnung p und eine asymptotische Konstante C beschrieben, sodass e_{k+1} ≈ C e_k^p, falls e_k klein genug ist. Beispiele sind lineare Konvergenz (p = 1), quadratische Konvergenz (p = 2) oder höhergradige Raten. Der konkrete Wert von p und C hängt vom Verfahren, der Problemstruktur und der Nähe zur Grenzlösung ab. Zusätzlich spielen Stabilität gegen Rundungsfehler und Modellfehler sowie Parameter- bzw. Startwertabhängigkeit eine Rolle.

Messung und Bewertung: Die Konvergenzgüte wird durch Beobachtung der Fehlerfolge, oft in Log-Log- oder Log-Linear-Diagrammen, geschätzt. Typisch errechnet man aus aufeinanderfolgenden Fehlern p ≈ log(e_{k+1}/log e_k) bzw. C ≈ e_{k+1}/e_k^p. In der Praxis werden auch Worst-Case-Analysen, Bedingungszahlen und numerische Stabilität herangezogen, um die Gesamteffizienz eines Verfahrens abzuschätzen.

Anwendungen: Die Konvergenzgüte ist zentral bei der Bewertung von Iterationsverfahren in der Lösung von Gleichungen, Optimierung, linearen und nichtlinearen Gleichungssystemen sowie bei Verfahren wie dem Newton-Verfahren, Fixpunktiterationen oder Krylov-Methoden. Sie dient dem Vergleich von Algorithmen und der Optimierung ihrer Parameter.