Kansmassafunctie

Kansmassafunctie, afgekort PMF (van het Engelse probability mass function), is een functie die de kansen toekent aan de mogelijke waarden van een discrete kansvariabele X. De PMF wordt meestal genoteerd als p_X(x) en geldt voor elke mogelijke waarde x van X: p_X(x) = P(X = x). De waarden x vormen de steun van X, en p_X(x) is nul buiten deze steun. De functies heeft twee basisvoorwaarden: p_X(x) ≥ 0 voor alle x en de som van p_X(x) over alle mogelijke waarden x is gelijk aan 1. Zo bepaalt de PMF de hele verdeling van X.

De PMF maakt het mogelijk om verwachtingswaarden en andere momenten te berekenen. Zo is de verwachtingswaarde van X gegeven door E[X] = ∑_{x∈S} x p_X(x), waarbij S de steun is. De variantie kan worden berekend met Var(X) = E[X^2] − (E[X])^2, en E[X^2] = ∑_{x∈S} x^2 p_X(x). De cumulatieve verdelingsfunctie F_X(x) is gerelateerd aan de PMF via F_X(y) = P(X ≤ y) = ∑_{t ≤ y} p_X(t).

Voorbeelden van kansmassafuncties zijn onder meer: een eerlijke dobbelsteen met X ∈ {1,2,3,4,5,6} en p_X(k) = 1/6 voor k = 1,…,6; een Bernoulli-distributie met X ∈ {0,1}, waarbij P(X=1) = p en P(X=0) = 1−p; en een Poisson-distributie met parameter λ, waarbij p(k) = e^{−λ} λ^k / k! voor k = 0,1,2,….

Een belangrijke kanttekening is dat de kansmassafunctie uitsluitend geldt voor discrete variabelen. Bij continue variabelen gebruikt men een kansdichtheid (PDF) en de kans op een enkel punt is nul. PMF’s leveren dan wel geen betekenisvolle massa.