HurwitzQuaternionen

Hurwitzquaternionen, auch Hurwitz-Integern genannt, bilden eine Teilmenge der Quaternionen der Form q = a + b i + c j + d k mit ganzzahligen Koordinaten, oder q = (a + b i + c j + d k)/2, wobei a, b, c, d ganzzahlig sind und dieselbe Parität haben (also alle gerade oder alle ungerade). Sie bilden eine spezielle Ordnung im Quaternionenalgebra H über den rationellen Zahlen.

Der Normwert N(q) = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 ist eine natürliche Zahl und gilt N(q r) = N(q) N(r). Der konjugierte Quaternion q̄ = a − b i − c j − d k erfüllt q q̄ = N(q). Die Hurwitzquaternionen bilden eine maximale Ordnung in H, sind eine two-sidedes Euclidean Domain bezüglich der Norm und damit ein fundamentales Beispiel für eine nichtkommutative PID/UFD.

Einheiten und Struktur: Die Einheiten in der Hurwitzordnung bestehen aus 24 Elementen. Die acht Lipschitz-Einheiten, nämlich ±1, ±i, ±j, ±k, werden durch weitere sechzehn halbintegeren Einheiten ergänzt: q = (±1 ± i ± j ± k)/2 mit einer geraden Anzahl von Minuszeichen. Die Einheitengruppe ist isomorph zur binären Tetraedergruppe.

Verankerung in Geometrie und Zahlentheorie: Die Norm-Bedingung macht Hurwitzquaternionen zu einem nützlichen Werkzeug zur Darstellung von ganzahligen Zahlen als Summe von vier Quadraten. Die Hurwitzordnung bildet in R^4 das D4-Gitter, und die 24 Einheiten entsprechen den Eckpunkten des regulären 24-Zell-Polytops. In der Computergrafik liefern Einheitenquaternionen diskrete Rotationen, während die Gesamtordnung tiefere Einblicke in Faktorisierung und ideale Strukturen von Quaternionenalgebren bietet.