Hopfbifuraties

Hopfbifuraties zijn lokale bifurcaties in continue tijd-dynamische systemen waarbij een equilibrumpunt stabieler wordt of verliest stabiliteit terwijl er een kleine amplitude-periodieke oplossing (een limitcyclus) ontstaat of verdwijnt. Ze treden op wanneer bij een parameterwaarde μ0 een paar complex geconjugeerde eigenwaarden van de linearisatie elkaar bij ±iω bevinden en de reele deel van de eigenwaarden door μ te wijzigen door nul gaat, terwijl alle andere eigenwaarden een negatieve reële deel behouden. Als de kruising met de imaginaire as transversaal is (d/dμ Re(λ(μ))|μ0 ≠ 0), en de nonlineaire termen generiek zijn, volgt doorgaans een Hopfbifurcatie.

Generieke uitkomsten: nabij de bifurcatie genereert of verdwijnt een periodieke oplossing van kleine amplitude. De aard van de bifurcatie wordt bepaald door de eerste Lyapunov-coëfficiënt l1. Als l1 < 0 spreekt men van een superkritische Hopf-bifurcatie: een stabiele kleine limietcyclus ontstaat terwijl het equilibrumpunt stabiel blijft tot voorbij μ0 en daarna verdwijnt. Als l1 > 0 is er een subkritische Hopf-bifurcatie: er bestaan onstabiele purist-toepassingen van kleine amplitude, en het equilibrum kan destabiliseren terwijl er mogelijk al grotere, onstabiele cycli bestaan.

In tweedimensionale systemen kan de Hopf-conditie vaak eenvoudiger worden geformuleerd: bij J = Df(x0, μ0) geldt dat de beide eigenwaarden bij μ0 puur imaginair zijn en det(J) > 0, met een juiste nonlineaire nondegeneratie. Het normale vorm-modelt het lokaal gedrag als z' = (μ + iω) z + l1 z|z|^2 + hogere orden, wat inzicht geeft in amplitude en fase.

Toepassingen van Hopfbifuraties komen veel voor in biologie, neuroscience, lasers, chemische reacties en populatiedynamica.