GaussEliminationsprinzip

Das GaussEliminationsprinzip ist ein Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme. Es basiert auf dem schrittweisen Eliminieren von Unbekannten durch Zeilenoperationen an der augmentierten Koeffizientenmatrix, um eine Form zu erreichen, in der die Gleichungen nacheinander gelöst werden können. Typischerweise führt es zur Zeilenstufenform oder reduzierten Zeilenstufenform der Matrix.

Zentrale Idee und Operationen: Die Methode nutzt drei elementare Zeilenoperationen, die äquivalente Systeme ergeben: Zeilen tauschen, eine Zeile mit einem von Null verschiedenen Skalar multiplizieren, und eine Zeile durch Addition eines Vielfachen einer anderen Zeile ersetzen. Diese Operationen entsprechen links multiplikatorischen Operationen durch invertierbare Matrizen; sie verändern die Lösungsmöglichkeit nicht.

Vorgehen: Im Forward-Phase wird in jeder Spalte unter dem Pivot die Eliminierung durchgeführt, bis Spalten unter dem Pivot Nullen sind. Danach folgt die Rücksubstitution, bei der die Unbekannten von unten nach oben bestimmt werden. Optional lässt sich das Ziel auch durch Umformen in die reduzierte Zeilenstufenform erreichen, wodurch die Lösung direkt ersichtlich wird. Pivotisierung wird oft verwendet, um numerische Stabilität zu erhöhen.

Historischer Kontext und Nutzung: Gauss entwickelte das Eliminationsprinzip im 19. Jahrhundert; heute ist es ein Grundwerkzeug der linearen Algebra und der numerischen Mathematik. Es lässt sich zur Lösung mehrerer Rechtsseiten verwenden, etwa durch das erweiterte System [A|b], oder zur Bestimmung der Inversen durch [A|I]. Als Alternative zu anderen Zerlegungen, wie LU- oder QR-Zerlegung, bleibt es anschaulich und effizient für kleine bis mittlere Systeme, wobei Rundungsfehler bei schlecht konditionierten Matrizen auftreten können.