Fraktionalkalkül

Fraktionalkalkül ist ein Teilgebiet der Analysis, das die Differentiation und Integration auf nicht ganzzahlige Ordnungen erweitert. Für eine reelle Ordnung α > 0 bezeichnet man D^α f als die α-te Ableitung oder die α-te Integration je nach Kontext; der Operator soll die gewöhnliche Ableitung oder Integration bei ganzzahligen Ordnungszahlen zurückgeben. Der Begriff umfasst mehrere Definitionen, die je nach Anwendungsfall unterschiedliche Randbedingungen und Deutungen verwenden.

Historisch reichen die Ideen bis ins 17. Jahrhundert zurück, als Leibniz die Idee einer Ableitung der Ordnung 1/2 spielerisch diskutierte. In der modernen Mathematisierung entwickelten Si Liouville, Riemann, Caputo und andere formale Definitionen. Heute sind die bekanntesten Vertreter die Riemann-Liouville-, Caputo- und Grunwald-Letnikov-Definitionen.

Zu den zentralen Definitionen gehören: Riemann-Liouville D^α f(t) = d^n/dt^n I^{n−α} f(t) mit n−1 < α < n, wobei I^{β} den β-fachen Integraloperator bezeichnet; Caputo D^α f(t) = I^{n−α} f^{(n)}(t), der initiale Randbedingungen in Form von ganzen Ableitungen bevorzugt; Grunwald-Letnikov D^α f(t) = lim_{h→0} h^{−α} ∑_{k=0}^{⌊t/h⌋} (−1)^k binomial(α, k) f(t−k h). Fractionalintegrale I^{β} und komplexere Ordnungen erweitern das Spektrum.

Eigenschaften des Fraktionalkalküls umfassen seine Linearität und Nicht- Lokalisität: Der Wert hängt oft vom gesamten Verlauf der Funktion ab und modelliert Gedächtnis- oder Memory-Effekte. Die Wahl der Definition beeinflusst Anfangsbedingungen und Interpretationen in physikalischen Modellen.

Anwendungen finden sich in der Viscoelasticität, anomalem Diffusionsverhalten, Regelungstechnik, Signalverarbeitung und Biowissenschaften. In der Theorie führen lineare Fraktionalgleichungen zu Lösungen mit der Mittag-Leffler-Funktion, die als Verallgemeinerung der Exponentialfunktion gilt. Numerische Methoden wie Grunwald-Letnikov-Approximationen oder Convolution-Quadratur werden genutzt, um praktische Probleme zu lösen.