Fouriertranszformációs

Fourier-transzformáció, vagy röviden FT, egy matematikai transzformáció, amely egy idő- vagy térbeli jel komponenseire bontja a frekvenciákat. Egy f(t) jel idő doménben adott, és a transzformáció eredménye egy F(ω) vagy F(k) frekvencia doménbeli reprezentáció, amely megmutatja, milyen frekvenciák és hogyan járulnak hozzá a jelhöz. Az inverse transzformáció visszaállítja a kezdeti jelet a frekvencia-doménből.

A folytonos Fourier-transzformáció a következőképpen definiálható: F(ω) = ∫_{-∞}^{∞} f(t) e^{-i ω t} dt, és a visszafutás: f(t) = (1/2π) ∫_{-∞}^{∞} F(ω) e^{i ω t} dω. Különböző normalizációk léteznek, amelyek a faktorokat a transzformációkba vagy a visszafordításba kerülhetik. Diszkrét esetben a Diszkrét Fourier-transzformáció (DFT) például így néz ki: X[k] = ∑_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-i 2π kn / N}, és x[n] = (1/N) ∑_{k=0}^{N-1} X[k] e^{i 2π kn / N}.

Fő tulajdonságai közé tartozik a linearitás, az időeltolás f(t−t0) → e^{-i ω t0} F(ω), az eltolás a frekvenciában és a konvolúció tétel: a f*g jelet a frekvenciaoldalán szorzatként kapjuk meg. A Fourier-transzformáció koncepciója lehetővé teszi, hogy idő- vagy térbeli jeleket könnyen analizáljunk, és különböző jellegű mezőket összekösse.

Történeti megjegyzésként Joseph Fourier munkássága vezetett be a transzformációt a hővezetés problémáira. Jelenleg nélkülözhetetlen eszköz a jel- és képfeldolgozásban, kommunikációban, spektroszkópiában, optikában, orvosi képalkotásban és kvantummechanikában. Számítógépes feldolgozásban a DFT-t és az FFT-t használják, hogy nagy adathalmazokon is hatékonyan számítható legyen a frekvencia-spektrum.