Fourieranalízishez

Fourier-analízis a matematikai és mérnöki terület, amely a jelek és függvények frekvencia-alapú leírására törekszik. Célja, hogy egy adott jel vagy függvény frekvenciaösszetevőkre bontva adható legyen, ezáltal könnyebbé válik a jel feldolgozása és értelmezése.

Két alap formája van: a Fourier-sor, amely periodikus függvényekre érvényes, és a Fourier-transzformáció, amely nem periodikus függvényekre ad frekvencia-összetevőket. A Fourier-sor f(t) = sum_{n=-∞}^{∞} c_n e^{i n ω0 t}, ahol c_n = (1/T) ∫_0^T f(t) e^{-i n ω0 t} dt és ω0 = 2π/T. A Fourier-transzformáció F(ω) = ∫_{-∞}^{∞} f(t) e^{-i ω t} dω, és a visszavezetés f(t) = (1/2π) ∫_{-∞}^{∞} F(ω) e^{i ω t} dω.

Diszkrét és numerikus megközelítések: véges minta esetén a diszkrét Fourier-transzformáció, DFT alkalmazható, amelyet az FFT (gyorsított DFT) algoritmus hatékonyan számít ki.

Alkalmazások és kapcsolódó elvek: frekvencia-szűrés, spektrumanalízis, konvolúció számítása, jel- és képfeldolgozás, akusztika és fizika. A Nyquist–Shannon-tétel szerint a jel visszaállításához a mintavételi frekvenciának legalább kétszerese kell legyen a legnagyobb frekvenciának.

Historikus megjegyzés: a Fourier-analízis alapelveit Joseph Fourier dolgozta ki a 19. század elején, kezdetben hővezetés problémáinál, majd széles körű alkalmazásokra bővítve. Azóta az elmélet a harmonikus analízis és a modern jel- és képfeldolgozás része.