Feldzählungen

Feldzählungen bezeichnet die mathematische Praxis, die Zählung von Objekten zu untersuchen, die durch Feldstrukturen definiert sind oder mit Feldern in Verbindung stehen. Der Schwerpunkt liegt auf endlichen Feldern, auf deren Struktur und auf den zugehörigen Polynomien, Erweiterungen und Subfeldern.

Für jedes Primzahl p und jede positive Ganzzahl n existiert ein endliches Feld mit p^n Elementen, und zwei solcher Felder sind zueinander isomorph. Man bezeichnet sie als GF(p^n) oder F_{p^n}. Dieses Feld hat als additiv-gruppe den Vektorraum über GF(p) der Dimension n; die multiplikative Gruppe ist zyklisch mit Ordnung p^n − 1. Die Teilfelder von GF(p^n) entsprechen genau GF(p^d) für Divisoren d von n; es gibt also genau die Anzahl der Divisoren von n Unterfelder. Die Unterfelderordnungen bilden eine Kette entsprechend den Teilordnungen.

Die Anzahl der monischen irreduziblen Polynome über GF(p) von Grad n ist (1/n) Sum_{d|n} μ(d) p^{n/d}, wobei μ die Möbius-Funktion ist. Aus dieser Zählung lassen sich Konstruktionen von GF(p^n) durch Faktorisieren von x^{p^n} − x oder durch irreduzible Polynome gewinnen. Die multiplikative Gruppe GF(p^n)^× ist zyklisch der Ordnung p^n − 1; daher gibt es φ(d) Elemente der Ordnung d, falls d ein Teiler von p^n − 1 ist.

Feldzählungen nutzt Techniken wie Möbius-Inversion, Inklusions-Exklusionsprinzip und Gruppentheorie. Anwendungen finden sich in Codierungstheorie, Kryptographie und Computeralgebra.