Fehlerterme

Fehlerterme (singular: der Fehlerterm) bezeichnet in der Mathematik den verbleibenden Anteil einer Größe, nachdem eine einfachere Annäherung oder ein approximierendes Modell verwendet wurde. Er misst die Abweichung zwischen dem exakten Wert und der vereinfachten Darstellung. In vielen Zusammenhängen wird der Fehlerterm mit R_n, E_n oder ähnlichen Symbolen notiert und hinsichtlich seiner Größe oder seines Verhaltens analysiert. Häufig erfolgt die Beschreibung von Fehlertermen mit der Big-O- oder Little-o-Notation aus der Asymptotik.

Ein klassisches Beispiel ist der Taylorrest, der Fehlerterm R_n(x) in der Taylor-Formel. Für eine n-mal differenzierbare Funktion gilt f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + ... + f^(n)(a)/n! (x-a)^n + R_n(x). Der Fehlerterm R_n(x) gibt an, wie groß die Abweichung zur wörtlich exakten Funktion ist. Falls die (n+1)-te Ableitung beschränkt ist, lässt sich |R_n(x)| durch eine obere Schranke ausdrücken, etwa |R_n(x)| ≤ M|x-a|^{n+1}/(n+1)!.

In numerischen Methoden beschreibt der Fehlerterm die Trunkationsfehler durch Diskretisierung oder Rundungsfehler durch endliche Genauigkeit. Ein Beispiel ist der Trapezregel-Fehler, der proportional zu h^2 ist, wobei h die Schrittweite ist, und durch Eigenschaften von f'' abgeschätzt werden kann. In der Zahlentheorie oder Statistik tauchen Fehlerterme als Differenzen zwischen einer exakten Formel und ihrer Näherung auf, wie etwa der Abweichung π(x) von einer Schätzung oder der Residualfehler in Regressionsmodellen.

Der zentrale Zweck von Fehlertermen besteht darin, das Gleichgewicht zwischen Einfachheit der Annäherung und gewünschter Genauigkeit zu steuern: Kleinere Schrittweiten oder höhere Ordnungen verringern typischerweise den Fehlerterm, oft auf Kosten von Rechenaufwand.