Fehlerordnungen

Fehlerordnungen bezeichnet in der Numerik die Geschwindigkeit, mit der der Fehler einer Näherungslösung verschwindet, wenn ein Verfahrensparameter, typischerweise die Schrittweite h, gegen null geht. Formal gilt e(h) = C h^p + o(h^p), wobei p die Ordnung der Methode ist und C eine Konstante, der führende Fehlerfaktor. Je größer p, desto schneller geht der Fehler mit fallendem h gegen null.

Es gibt verschiedene Arten von Fehlern: die globale Fehlerrate, die den Gesamtfehler nach einer vollständigen Berechnung angibt, und die lokale Truncation Error LTE, den Fehler, der in einem einzelnen Schritt entsteht. Für eine Methode der Ordnung p gilt oft LTE = O(h^{p+1}) und der globale Fehler nach vielen Schritten ist O(h^p) unter passenden Stabilitätsbedingungen.

Beispiele: das einfache Euler-Verfahren hat erste Ordnung (globaler Fehler O(h)); das Runge-Kutta-Verfahren vierter Ordnung (RK4) hat globale Fehlerordnung 4. Bei Differenzenformeln liefern zentrale Differenzen zur Ableitung typischerweise O(h^2) Fehler, während forward-Differenzen O(h) zeigen. Bei Integrationsverfahren sind Trapezregel zweiter Ordnung und Simpsonregel vierter Ordnung.

Bestimmung der Ordnung erfolgt analytisch durch eine Fehleranalyse oder empirisch durch Untersuchung der Skalierung der Fehler mit der Schrittweite, etwa durch ein Log-Log-Diagramm: log Fehler ≈ p log h + Konstante. Die gemessene Ordnung hängt von der verwendeten Norm ab (z. B. max-Norm, L2-Norm) und von Stabilitäts- bzw. Regularitätsannahmen des Problems.

Fehlerordnungen sind grundlegend zur Beurteilung von Effizienz, Stabilität und Vertrauen in numerische Verfahren und dienen der Auswahl geeigneter Methoden und Schrittweiten.