Fehlerfortpflanzung

Fehlerfortpflanzung bezeichnet die Auswirkung von Unsicherheiten in Eingangsgrößen auf das Ergebnis einer Funktion oder Messgröße. In Wissenschaft und Technik wird sie eingesetzt, um die Unsicherheit eines berechneten Werts zu quantifizieren und zu berichten. Typisch verwendet man die erste Ordnung der Taylor-Ausdehnung (lineare Approximation) um die Auswirkung der Eingangsunsicherheiten abzuschätzen.

Bei einer Funktion y = f(x1, x2, ..., xn) mit Standardunsicherheiten u1, u2, ..., un und gegebenen Kovarianzen Cov(xi, xj) ergibt sich die kombinierte Standardunsicherheit von y als u(y) ≈ sqrt( sum_i (∂f/∂xi)^2 u_i^2 + 2 sum_{i<j} (∂f/∂xi)(∂f/∂xj) Cov(xi, xj) ). Ist kein Zusammenhang zwischen den Eingangsgrößen gegeben, vereinfacht sich die Formel zu u(y) ≈ sqrt( sum_i (∂f/∂xi)^2 u_i^2 ).

Für unproblematische, lineare oder gering lineare Zusammenhänge genügt oft diese analytische Propagation. Bei stärkeren Nichtlinearitäten oder unbekannter Verteilung der Eingaben können Monte-Carlo-Simulationen oder andere numerische Verfahren eingesetzt werden. In der Praxis wird häufig zusätzlich das erweiterte Uncertainty-Konzept verwendet: Es wird eine Expanded Uncertainty U = k · u(y) angegeben, wobei k je nach gewünschter Abdeckungswahrscheinlichkeit gewählt wird (typisch k ≈ 2 für ca. 95 % bei normalverteilten Unsicherheiten).

Anwendungen finden sich in der Messwertberichterstattung, Kalibrierung, Natur- und Ingenieurwissenschaften. Grenzen der Methode ergeben sich aus Nichtlinearität, fehlenden Kovarianzen, systematischen Fehlern oder Modellunsicherheiten, die nicht durch die mathematische Propagation erfasst werden. In solchen Fällen ergänzen oder ersetzen alternative Methoden wie Monte Carlo die analytische Fehlerfortpflanzung.