Faktorenzahl

Faktorenzahl, auch Divisorenzahl oder tau(n) genannt, ist eine Funktion in der Arithmetik, die die Anzahl der positiven Teiler einer gegebenen natürlichen Zahl n angibt. Sie zählt 1 und n selbst.

Für die Primfaktorisierung von n = ∏ p_i^{a_i} gilt: Die Faktorenzahl ist d(n) = ∏ (a_i + 1). Zum Beispiel hat 360 = 2^3 · 3^2 · 5 die Faktorenzahl d(360) = (3+1)(2+1)(1+1) = 24.

Eigenschaften: Die Faktorenzahl ist eine Multiplikativität im Sinn, dass d(mn) = d(m) d(n) gilt, wenn gcd(m, n) = 1. Allgemein ist d(n) weder ganz noch vollständig multiplikativ, sondern lediglich multiplikativ. Für n = 1 gilt d(1) = 1. Übliche Orientierung bezieht sich auf positive Teiler; bei der Zählung aller Teiler einschließlich negativer Teiler verdoppelt sich der Wert.

Wachstum und Verteilung: Die Faktorenzahl wächst oft klein relativ zu n. Die typische Größenordnung liegt in der Größenordnung von log n. Die durchschnittliche Ordnung von d(n) ist log n, genauer sum_{k ≤ x} d(k) ~ x log x + (2γ − 1) x, wobei γ die Eulersche Konstante ist. Die maximale Ordnung von d(n) bis x erfüllt d(n) ≤ exp(O(log x / log log x)).

Verknüpfungen: Die Dirichletreihe sum_{n≥1} d(n) n^{−s} konvergiert für Re(s) > 1 und ergibt ζ(s)^2, wobei ζ die Riemannsche Zeta-Funktion ist.

Siehe auch: Divisorenzahl, tau-Funktion, hochdivisorische Zahlen.