Erwartungsoperator

Der Erwartungsoperator, oft mit E bezeichnet, ist in der Wahrscheinlichkeitsrechnung eine lineare Abbildung, die einer Zufallsvariable X ihren Erwartungswert zuordnet. Er gibt den durchschnittlich erwarteten Wert des Zufallsversuchs bei wiederholter Durchführung an. In der measure-theoretischen Formulierung lautet E[X] = ∫ X dP, sofern X integrierbar ist.

Für diskrete Zufallsvariablen X mit Werten x_i und Auftretenswahrscheinlichkeiten p_i gilt E[X] = Σ_i x_i p_i. Für stetige Zufallsvariablen mit Dichte f gilt E[X] = ∫_{-∞}^{∞} x f(x) dx.

Die Erwartung ist linear: E[aX + bY] = a E[X] + b E[Y], und E[c] = c für Konstanten c. Sie erfüllt Monotonie: X ≥ 0 nahezu sicher impliziert E[X] ≥ 0. Außerdem gilt das Gesetz der totalen Erwartung: E[X] = E[E[X|Y]]. Der bedingte Erwartungswert E[X|𝒢] ist eine Zufallsgröße, die bezüglich der betrachteten σ-Algebra 𝒢 messbar ist und den Erwartungswert von X gegeben 𝒢 wiedergibt.

Anwendungen erstrecken sich über Statistik, Finanzmathematik, Risikobewertung und viele Modelle der Wahrscheinlichkeitstheorie. Beispiele helfen, der Theorie concreta Werte zuzuordnen: Bei einem fairen Würfel beträgt E(W) = (1+2+3+4+5+6)/6 = 3,5. Der Erwartungsoperator dient damit als zentrale Größe zur Beschreibung durchschnittlicher oder langfristiger Ergebnisse in probabilistischen Modellen.