ErwartungsWertTheorie

Erwartungswerttheorie bezeichnet in Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik den Ansatz, den Erwartungswert als zentrales Maß für Vorhersagen und rationale Entscheidungen unter Unsicherheit zu verwenden. Der Erwartungswert E[X] einer Zufallsvariablen X ist der gewichtete Mittelwert der möglichen Werte, gewichtet nach deren Wahrscheinlichkeiten.

Für eine diskrete Zufallsvariable X mit Werten x_i und Wahrscheinlichkeiten p_i gilt E[X] = Σ_i x_i p_i; bei einer stetigen Zufallsvariable X mit Dichte f(x) gilt E[X] = ∫ x f(x) dx. Für Funktionen gilt E[g(X)] = Σ_i g(x_i) p_i bzw. E[g(X)] = ∫ g(x) f(x) dx. Wichtige Eigenschaft ist die Linearität: E[aX + bY] = a E[X] + b E[Y] und E[X+Y] = E[X] + E[Y].

Anwendungsfelder sind Statistik und Datenanalyse, Finanz- und Versicherungsmathematik (z. B. Bewertung von Investitionen durch den erwarteten Wert der Auszahlung) sowie Entscheidungsfindung unter Risiko. In vielen Kontexten dient der Erwartungswert als normative Grundlage, um bei risiko-neutraler Bewertung das günstigste Vorgehen abzuleiten.

Historisch geht der Begriff auf frühe Probabilitätsprobleme zurück und wurde im 20. Jahrhundert durch die axiomatische Wahrscheinlichkeitslehre von Kolmogorov formalisiert. In der Entscheidungstheorie wird das Konzept der erwarteten Auszahlung oft durch die Erwartungsnutzentheorie erweitert, bei der der Nutzen statt der Auszahlung maximiert wird.

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