Eloszláselmélet

Eloszláselmélet a valószínűség-elmélet azon ága, amely a véletlen változók eloszlásainak szerkezetét és viselkedését vizsgálja. Az alapfogalom a valószínűségteret (Ω, F, P) és a rá definiált véletlen változót X. Az X eloszlását diszkrét vagy folytonos formában írhatjuk le. Diszkrét eloszlásoknál az eloszlásfüggvény F_X(x) = P(X ≤ x); folytonos eloszlásoknál pedig a sűrűségfüggvény f_X, adott esetben a hozzá tartozó eloszlásfüggvény. Gyakorlati példák: binomiális, Poisson, normális (Gauss), exponenciális, egyenletes, gamma és Beta-eloszlás.

Fontos tételek és koncepciók közé tartozik a várható érték, a szórás és a momentumok, valamint a konvergencia különböző fajtái: konvergencia valószínűségben és eloszlásban, illetve erős konvergencia. A központi határeloszlás-tétel és a nagy számok törvénye leírják, hogyan viselkednek átlagok és összegzett megfigyelések nagy minta esetén. Módszertani eszközök közé tartoznak a momentgeneráló és a karakterisztikus függvények, amelyek segítik az eloszlások jellemzését és összehasonlítását.

Az eloszláselmélet alapelveket nyújt a statisztikához, adatmodellezéshez, a pénzügyi és technikai alkalmazásokhoz, valamint a tudományos kutatáshoz is, ahol a véletlen jelenségek leírása és előrejelzése fontos.