Differenciálegyenleteknél

Differenciálegyenleteknél olyan egyenleteket vizsgálunk, amelyekben az ismeretlen függvény és annak deriváltjai között van kapcsolat. Differenciálegyenletnek nevezzük az olyan összefüggéseket, amelyekben az ismeretlen függvény és deriváltjai jelennek meg. Gyakran keresünk megoldást kezdeti vagy határérték feltételek mellett, ami kezdeti érték-problémáknak és határérték-problémáknak felel meg. A differenciálegyenletek megoldása lehet analitikus vagy numerikus, és a modell összetettségétől függően különféle módszereket alkalmazunk.

Osztályozásuk szerint megkülönböztetünk első- és magasabb rendű, egy- vagy többváltozós, lineáris és nemlineáris, homogén és inhomogén típusokat. Emellett létezik különbség ODE-k (ordinary differential equations) és PDE-k (partial differential equations) között. Fontos kategória a kezdeti érték-probléma (IVP) és a határérték-probléma (BVP) is, amelyek meghatározzák a megoldás módját és létezését.

Megoldási módszerek tekintetében két fő ágat különböztetünk meg: analitikus és numerikus módszereket. Analitikus megoldások között szerepel az elválasztás módszere, az integráló tényező, a lineáris rendszerek megoldása és a Laplace-transzformáció alkalmazása. PDE-knél gyakori a szeparáció, a jellemzők módszere, valamint Fourier- vagy Laplace-transzformációk használata. Numerikus módszerek közé tartozik a Runge–Kutta-eljárások, az implicit módszerek és a stiff problémák kezelése.

Alkalmazások széles köre van a fizikában, biológiában, közgazdaságtanban és mérnöki területeken. Modellezéshez különösen fontos a stabilitás és érzékenység vizsgálata, valamint a megbízható közelítés biztosítása. A differenciálegyenletek alapvető eszközt nyújtanak dinamikus rendszerek megértéséhez és előrejelzéséhez.