Basisvectoren

Basisvectoren zijn de vectoren die samen met elkaar een basis vormen voor een vectorruimte. Een basis van een vectorruimte V is een verzameling B = {b1, ..., bk} die lineair onafhankelijk is en waar elk v ∈ V uniek kan worden geschreven als een lineaire combinatie v = a1 b1 + ... + ak bk. De verzameling B spant dus de hele ruimte, en het aantal vectoren in B heet de dimensie van V.

In R^n wordt doorgaans gewerkt met de standaardbasis e1, e2, ..., en_n, waarbij e_i een vector is met 1 op de i-de positie en 0 elders. Elke vector v kan worden uitgedrukt als v = ∑ ai bi met coördinaten [v]_B = (a1, ..., ak) ten opzichte van B.

Een basis is niet uniek: verschillende verzamelingen vectoren kunnen dezelfde ruimte spannen. Een subruimte U van V heeft een basis die bestaat uit vectoren uit U; deze basis stelt U volledig vast. Een bijzondere soort basis is de orthonormale basis, waarbij de basisvectoren orthonormaal zijn (met elkaar orthogonaal en elk van unit lengte). Coördinaten berekenen wordt dan eenvoudiger via projecten op de basisvectoren.

Verandering van basis wordt beschreven met een lineaire transformatie. De coördinaten van een vector veranderen volgens een invertibele matrix; de kolommen van die matrix zijn de representaties van de nieuwe basisvectoren in termen van de oude basis.

Toepassingen van basisvectoren variëren van het geven van coördinaten in vectorruimten tot praktische berekeningen in computergraphics, natuurkunde en engineering, waar het kiezen van een geschikte basis het werk vereenvoudigt.