Allgemeinlösungen
Allgemeinlösungen, auch bekannt als *partielle Differentialgleichungen* (PDGs) oder *Differentialgleichungen höherer Ordnung*, bezeichnen mathematische Gleichungen, die die Lösung eines Problems in einer größeren Klasse von Funktionen beschreiben. Im Gegensatz zu speziellen Lösungen, die nur für bestimmte Bedingungen gelten, umfassen Allgemeinlösungen alle möglichen Lösungen unter Berücksichtigung von Freiheitsgraden, die durch Integrationskonstanten oder Integrale definiert werden.
Ein klassisches Beispiel ist die allgemeine Lösung der linearen homogenen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten,
\[ \frac{d^2y}{dx^2} + ay + b = 0 \]
Hierbei sind die Lösungen oft von der Form
\[ y(x) = C_1 e^{r_1x} + C_2 e^{r_2x} \]
wobei \( r_1 \) und \( r_2 \) die Wurzeln der charakteristischen Gleichung sind. Die Konstanten \( C_1 \) und \( C_2 \)
Allgemeinlösungen sind besonders wichtig in der Physik und Ingenieurwissenschaft, wo sie zur Beschreibung dynamischer Systeme wie
In der Praxis werden Allgemeinlösungen oft durch spezielle Bedingungen (z. B. Randbedingungen oder Anfangsbedingungen) zu speziellen