Alaryhmäkäsitteitä

Alaryhmäkäsitteet käsittelevät ryhmän rakenteellisia alaryhmiä. Olkoon G ryhmä. Alaryhmä H G:stä on H ⊆ G, ei-tyhjä ja suljettu ryhmän operaation suhteen sekä suljettu käänteisille: kaikilla h1,h2 ∈ H, myös h1h2 ∈ H ja kaikilla h ∈ H, h^{-1} ∈ H. Näin ollen H on G:n aliryhmä.

Perusominaisuuksiin kuuluvat generaattorit ja generated-subgroup. S ⊆ G määrittää aliryhmän ⟨S⟩, joka on pienin aliryhmä, joka sisältää S. Esimerkkejä: ⟨g⟩ = {g^n | n ∈ Z} on alkioidensa generaattorin muodostama aliryhmä. Esimerkiksi Z:n ryhmä (Z,+) sisältää aliryhmän nZ; sekä kokonaisluku- että kertalukujen tapauksissa on olemassa sekä triviaalialiryhmä {e} että koko G:n muodostama aliryhmä.

Normaalialiryhmä ja kertaryhmä. H on normaali aliryhmä G:ssä, merkitään H ◁ G, jos vasen ja oikea kosetti Hg sekä gH ovat yhtä suuret jokaisessa g ∈ G. Tällöin voidaan muodostaa kertaryhmä G/H, jonka elementit ovat kosetteja. Lisäksi jos φ: G → K on ryhmähomomorfismi, sen ydin ker φ on normaali aliryhmä ja G/ker φ ≅ im φ toteuttaa ensimmäisen isomorfialauseen. Näiden käsitteiden avulla ryhmän rakenne ja kuvat määritellään sekä luokitellaan.

Yhteenveto. Alaryhmäkäsitteet antavat ikkunan ryhmän rakenteeseen: aliryhmät muodostavat osia ryhmän kokonaisuudesta, niistä voi muodostaa kertaryhmiä ja ymmärtää ryhmähomomorfismin vaikutuksia sekä Lagrangen lauen kaltaiset tulokset. Ne muodostavat keskeisen perustan ryhmäteoriassa.